Formation OpenGL

NURBS

Introduction
Splines
NURBS
NURBS en OpenGL
Sources

Introduction

Les splines sont la généralisation des courbes de Bézier. Une B-spline est une combinaison linéaire de splines non-négatives à support compact minimal.

Les NURBS (Non-Uniform Rational Basis Splines) correspondent à une généralisation des B-splines car ces fonctions sont définies avec des points en coordonnées homogènes. Le principal intérêt de ces courbes NURBS est qu'elles parviennent même à ajuster des courbes qui ne peuvent pas être représentées par des B-splines. Un exemple fameux est le tracé d'un quart de cercle.

Splines

$t_0 < t_1 < \ldots < t_m$

une courbe spline de degré $n$ est une courbe paramétrique

$\mathbf{S}:[0,1] \to \mathbb{R}^n$

composée de fonctions B-splines de degré n

$\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-n-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]$ .

Où les P_i forment un polygone appelé polygone de contrôle. Le nombre de points composant le polygone est égal à m-n.

Les m-n fonctions B-splines de degré n sont définies par récurrence

$b_{j,0}(t) := \left\{\begin{matrix} 1 & \mathrm{si} \quad t_j \leqslant t < t_{j+1} \\ 0 & \mathrm{sinon} \end{matrix} \right.$

$b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t).$

Lorsque plusieurs noeuds $t j$ sont confondus on pose $\frac{0}{0} = 0$

Quand les nœuds sont équidistants, les B-splines sont dites uniformes.

NURBS

Les NURBS sont utilisées pour représenter mathématiquement des objets géométriques. Elles généralisent la représentation par les B-splines des courbes et des surfaces en ajoutant un dénominateur. Elles sont en fait définies avec des points en coordonnées homogènes. Une B-spline ressemble à une représentation polynomiale par morceaux, alors qu'une NURBS est une représentation par fractions rationnelles par morceaux. Notamment utilisées dans les logiciels d'édition 3D, ces fonctions d'ajustement sont particulièrement utilisées dans le domaine de l'informatique, plus précisément dans la compression d'images et dans le design assisté par ordinateur, afin de générer et représenter des formes douces et ergonomiques. Du fait qu'elle présentent de nombreux avantages, leur utilisation est largement répandue :

facilité et précision pour évaluer une forme
capacité pour approximer des formes complexes
simplicité de construction et d'implémentation
faible complexité des algorithmes utilisés

Définition formelle [modifier]

Les fonctions NURBS de degré $d$ sont définies par la formule doublement récursive de Cox-De Boor :

$\left\{\begin{array}{ll}b_{j,0}(t)= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & si\; t_j \leq t < t_{j+1} \\ 0 & sinon \end{array} \right.\\ b_{j,d}(t)= \frac{t-t_j}{t_{j+d}-t_j} b_{j,d-1}(t)+\frac{t_{j+d+1}-t}{t_{j+d+1}-t_{j+1}}b_{j+1,d-1}\end{array}\right.$ où les $t j$ sont des nœuds appartenant au vecteur nodal, et $d$ le degré de la NURBS.

Lorsque plusieurs nœuds $t j$ sont confondus, on pose $\frac{0}{0}=0$ .

La formule des NURBS possède de grandes correspondances avec celle des B-splines. Elle est simplement généralisée afin d'être appliquée à des coordonnées homogènes :

$S(t)=\frac{\sum_{i=1}^{m-d-1}w_iQ_ib_{i,d}(t)}{\sum_{i=1}^{m-d-1}w_ib_{i,d}(t)}$ où les $Q i$ sont les points de contrôle donnés, $m$ le nombre de nœuds, $d$ le degré de la NURBS, les $b i, d$ des coefficients calculés selon l'algorithme de Cox-de Boor, et $t$ le paramètre.

NURBS en OpenGL

GLU propose des fonctions pour restiture des NURBS.
Etudiez le programme surface.c, qui affiche un patch NURBS défini à l'aide de 16 points de contrôle.

Sources

17 décembre 2012